Closure

闭包（英语：Closure）在拓扑学中是指，一个拓扑空间里，子集S的闭包由S 的所有点及S 的极限点所组成的一个集合；直观上来说，即为所有「靠近」S　的点所组成的集合。在子集S　的闭包内的点称为S 的闭包点。闭包的概念在许多方面能与内部的概念相对比。

== 定义 ==

=== 闭包点 ===
设S 为欧几里德空间内的一个子集，若所有以x 为中心的开球都包含S 内的一点（这个点也可以是x 自身），即称x 为S　的闭包点。
上述定义可以推广到度量空间X 的任意子集S之上。具体地说，设X 为具度量d 的度量空间，S为X 内的子集，若对所有的r > 0，皆存在一个S 内的点y，使得 d(x, y) < r（同样地，x = y 也可 ），即称x 为S 的闭包点。另外，也可以如下定义：若 d(x, S) := inf{d(x, s) : s in S} = 0，即称x 为S的闭包点。上述两种定义的写法是同样的意思。
最后，闭包点的定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”即可。设S 为拓扑空间X 的子集，则x 称为S 的闭包点，若所有x 邻域都包含S 内的一点。注意，这个定义并不要求邻域一定要为开集。

=== 极限点 ===
闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含“ 不是 x 自身的”这个集合的点。
因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是 S 的元素，且存在 x 的邻域，该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。
对给定的集合 S 和点 x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。

=== 集合的闭包 ===
集合S 的闭包是指由所有S 的闭包点所组成的集合。S 的闭包写作 cl(S)，Cl(S) 或 S−。集合的闭包具有如下性质：

cl(S) 是 S 的闭父集。
cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。
集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S)。
若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。
上述第二或第三条性质可作为拓扑闭包的定义。
在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛序列的所有极限。
注意，若将“闭包”、“交集”、“包含”、“最小”、“闭”等词汇相应替换成“内部”、“并集”、“包含于”、“最大”、“开”，上述性质仍然成立。更多信息请参看下面的“闭包算子”。

=== 其他性质 ===
集合的交集的闭包是集合的闭包的交集的子集。
有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况…