Grad

在向量微积分中，梯度（英语：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数



f


{\displaystyle f}

在点



P


{\displaystyle P}

上的梯度，是以



f


{\displaystyle f}

在



P


{\displaystyle P}

上的偏导数为分量的向量。
就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点



P


{\displaystyle P}

上的梯度不是零向量，则它的方向是这个函数在



P


{\displaystyle P}

上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。
梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量。
在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵。在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是弗雷歇导数。

== 梯度的解释 ==

假设有一个房间，房间内所有点的温度由一个标量场



ϕ


{\displaystyle \phi }

给出的，即点



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

的温度是



ϕ
(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle \phi (x,y,z)}

。假设温度不随时间改变。然后，在房间的每一点，该点的梯度将显示变热最快的方向。梯度的大小将表示在该方向上的温度变化率。
考虑一座高度在



(
x
,
y
)


{\displaystyle…